Lineare Algebra Beispiele

[\begin{matrix} 1 & 2 1 & 4 \end{matrix}] x = [\begin{matrix} 1117 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

Schritt 1

Find the inverse of

[\begin{matrix} 1 & 2 1 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Schritt 1.2

Find the determinant.

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Schritt 1.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

1 \cdot 4 - 1 \cdot 2

$1 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

1

$1$ .

4 - 1 \cdot 2

$4 - 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

4 - 2

$4 - 2$

4 - 2

$4 - 2$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere

2

$2$ von

4

$4$ .

2

$2$

2

$2$

2

$2$

Schritt 1.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 1.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{2} [\begin{matrix} 4 & - 2 - 1 & 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{2} [\begin{array}{c} 4 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.5

Multipliziere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ mit jedem Element der Matrix.

[\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot - 2 \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.6

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 1.6.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

4

$4$ heraus.

[\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) & \frac{1}{2} \cdot - 2 \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) & \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 1.6.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$- 2$ heraus.

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1)) \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ \frac{- 1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.6.5

Mutltipliziere

$\frac{1}{2}$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2

Multiply both sides by the inverse of

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

Schritt 3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.1

Multipliziere

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}]$ .

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Schritt 3.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 2$ .

Schritt 3.1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 & 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 \\ - \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

Schritt 3.1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

Schritt 3.2

Multiplying the identity matrix by any matrix

$A$ is the matrix

$A$ itself.

$x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

Schritt 3.3

Multipliziere

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$ .

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Schritt 3.3.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

Schritt 3.3.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$x = [\begin{array}{c} 2 \cdot 11 - 1 \cdot 17 \\ - \frac{1}{2} \cdot 11 + \frac{1}{2} \cdot 17 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$x = [\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}]$